已知数列{a n }的前n项和为S n ,且有a 1 =2,S n =2a n -2.

(1) a _n =2 ⁿ (2) T _n =2+(n-1)·2 ⁿ⁺¹


解:(1)∵S _n =2a _n -2,
∴S _n-1 =2a _n-1 -2(n≥2),
∴a _n =2a _n-1 ,
=2(n≥2).
又∵a ₁ =2,
∴{a _n }是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴a _n =2·2 ^n-1 =2 ⁿ .
(2)b _n =n·2 ⁿ ,
T _n =1·2 ¹ +2·2 ² +3·2 ³ +…+n·2 ⁿ ,
2T _n =1·2 ² +2·2 ³ +…+(n-1)·2 ⁿ +n·2 ⁿ⁺¹ .
两式相减得,-T _n =2 ¹ +2 ² +…+2 ⁿ -n·2 ⁿ⁺¹ ,
∴-T _n = -n·2 ⁿ⁺¹ =(1-n)·2 ⁿ⁺¹ -2,
∴T _n =2+(n-1)·2 ⁿ⁺¹ .