如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，AB=BC=AA1=3，

（1）证明：如图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，
则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，
且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥平面A₁BC，
又∵BC?平面A₁BC，∴AD⊥BC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC．
又∵AA₁∩AD=A，∴BC⊥侧面A₁ABB₁，
又∵AB?侧面A₁ABB₁，∴AB⊥BC．…（4分）
（2）由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，
以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
B（0，0，0），A（0，3，0），C（3，0，0），A₁（0，3，3）
∵线段AC、A₁B上分别有一点E、F，满足2AE=EC，2BF=FA₁，
∴E（1，2，0），F（0，1，1），
∴

EF＝(?1，?1，1)，

BA1＝(0，3，3)．
∵

EF?

BA1=0，∴EF⊥BA₁，
∴点E到直线A₁B的距离d＝|EF|＝
3．…（8分）
（3）

BE＝(1，2，0)，

BF＝(0，1，1)，
设平面BEF的法向量