（2014•奉贤区一模）（理）已知数列{an}的各项均不为零，a1=1，a2=m，且对任意n∈N*，都有a2n+1＝an
（2014•奉贤区一模）（理）已知数列{an}的各项均不为零，a1=1，a2=m，且对任意n∈N*，都有
＝anan+2+c．
（1）设c=1，若数列{an}是等差数列，求m；
（2）设c=1，当n≥2，n∈N*时，求证：
是一个常数；
（3）当c=（m+1）2时，求数列{an}的通项公式．
| a | 2 n+1 |
（1）设c=1，若数列{an}是等差数列，求m；
（2）设c=1，当n≥2，n∈N*时，求证：
| an+1+an−1 |
| a n |
（3）当c=（m+1）2时，求数列{an}的通项公式．
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解题思路：（1）由题设条件求出公差，再利用等差数列的通项公式分别求出an，an+1，an+2，根据已知条件能求出m．
（2）由题设条件先求出a3＝m2−1，
＝m，猜想
＝m，由此能够证明
是一个常数．
（3）先由已知条件求出
＝
＝−2，再类比猜想
＝−2，由此能够求出数列{an}的通项公式．
（2）由题设条件先求出a3＝m2−1，
| a1+a3 |
| a2 |
| an−1+an+1 |
| an |
| an+1+an−1 |
| a n |
（3）先由已知条件求出
| a1+a3 |
| a2 |
| m2+1−c |
| m |
| an−1+an+1 |
| an |
（1）由题意得：d=a2-a1=m-1，
an=1+（n-1）（m-1），
an+1=1+n（m-1），
an+2=1+（n+1）（m-1）
∵
a2n+1＝anan+2+1，
∴[1+n（m-1）]2=[1+（n-1）（m-1）][1+（n+1）（m-1）]+1
解得m=2．
（2）法一：∵a1=1，a2=m，
a2n+1＝anan+2+c，c=1，
∴a3＝m2−1，∴
a1+a3
a2＝m，
猜想
an−1+an+1
an＝m
欲证明
an−1+an+1
an＝m恒成立
只需要证明
an−1+an+1
an＝
an+an+2
an+1恒成立
即要证明an+1（an-1+an+1）=an（an+an+2）恒成立
即要证明an+1an−1+an+12＝an2+anan+2恒成立，
∵
a2n+1＝anan+2+1，
∴an+1an−1＝an2−1，anan+2＝an+12−1，
∵an+1an-1+an+12=an+1an−1+an+12＝an2−1+an+12，
点评：
本题考点： 数列递推式．
考点点评： 本题考查数列知识的综合运用，综合性强，难度大，解题时要认真审题，仔细挖掘题设条件中的隐含条件，注意合理地进行类比猜想．
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