设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．
（1）证明B可逆．
（2）求AB-1．
tianzhibaobe 1年前 已收到2个回答 举报
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zhwwh 春芽

共回答了13个问题采纳率：92.3% 举报

解题思路：（1）根据初等变换与初等矩阵的关系，初等矩阵与矩阵乘法的关系，可以写出B=AEij，从而由A可逆，推得B可逆；
（2）由（1）将AB-1求出来即可．

证明：
（1）
令：Eij表示单位阵中的第i行和第j行对换，
则由题意B=EijA，而Eij是初等矩阵，是可逆的，
又A是可逆的，
根据逆矩阵的乘积依然是可逆的，得：
B=AEij可逆．
（2）
∵B=EijA，
∴B-1=（EijA）-1=A-1•Eij-1=A-1Eij，（Eij的逆矩阵依然为本身）
从而：AB-1=A•A-1Eij=Eij．

点评：
本题考点： 矩阵可逆的充分必要条件．

考点点评： 熟悉初等矩阵和初等变换的关系，初等矩阵与矩阵乘法的关系，以及逆矩阵的运算性质，此题很简单．

1年前

5

stephen1985 幼苗

共回答了2个问题 举报

1，对调之后B的行列式与A的行列式互为相反数，不为零，故B可逆。
对你第二问不是很清楚，你再表述清楚一点。是不是A矩阵乘B的逆矩阵？如果是这样的话，B矩阵等于A矩阵乘以P，B的逆矩阵等于P乘以A的逆矩阵，这样就可以得到，A*B的逆矩阵=B乘以A的逆矩阵等于A*P*A的逆矩阵。...

1年前

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