定义y=log（1+x）F（x，y），x＞0，y＞0．

解题思路：（1）由定义知F（x，y）=（1+x）^y，x＞0，y＞0，由此能比较比较F（1，3）与F（2，3）的大小．
（2）F（x-1，y）=x^y，F（y-1，x）=y^x，要证F（x-1，y）＞F（y-1，x），只要证x^y＞y^x，由此能证明不等式F（x-1，y）＞F（y-1，x）成立．
（3）由题意知：f（x）=x³+ax²+bx+1，且f′（x₀）=k，于是有3x₀²+2ax₀+b=-4 在x₀∈（1，1-a）上有解．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a的取值范围．

（1）由定义知F（x，y）=（1+x）^y，x＞0，y＞0，
∴F（1，3）=（1+1）³=8，F（2，2）=（1+2）²=9，
∴F（1，3）＜f（2，2）．…（3分）
（2）F（x-1，y）=x^y，F（y-1，x）=y^x，
要证F（x-1，y）＞F（y-1，x），只要证x^y＞y^x，
∵x^y＞y^x，
∴ylnx＞xlny，
∴[lnx/x]＞[lny/y]，…（5分）
令h（x）=[lnx/x]，则h′（x）=[1−lnx
x2，
当x＞e时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（e，+∞）上单调递减．
∵e＜x＜y，
∴h（x）＞h（y），即
lnx/x]＞[lny/y]，
∴不等式f（x-1，y）＞f（y-1，x）成立．…（8分）
（3）由题意知：f（x）=x³+ax²+bx+1，且g′（x₀）=k，
于是有3x₀²+2ax₀+b=-4 在x₀∈（1，1-a）上有解．
又由定义知log₂（x₀³+ax₀²+bx₀+1）＞0，
即x₀³+ax₀²+bx₀＞0，
∵x₀＞1，
∴x₀²+ax₀＞-b，
∴x₀²+ax₀＞3x₀²+2ax₀+4，
即ax₀＜-2（x₀²+2），
∴a＜-2（x₀+
2
x0）在x₀∈（1，1-a）有解．…（10分）
设V（x₀）=x₀+
2
x0，x₀∈（1，1-a），
①当1-a＞
2，即a＜1-
2时，V（x₀）=x₀+
2
x0≥2
2．
当且仅当x₀=

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题考查两数大小的比较，考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．