阅读下列材料：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构

阅读下列材料：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造
阅读下列材料：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及此时[AP/AC]的值是多少．

在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法，解决以下问题：
（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，[AP/AC]=______；
（2）如图3，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PB为边作□PBQE，那么对角线PQ的最小值为______，此时[AP/AC]=______；
（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作□PCQE，那么对角线PQ的最小值为______，此时[AP/AC]=______．

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L377999 幼苗

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（1）如图2，

∵四边形APBQ是平行四边形，
∴AP∥BQ，AP=BQ．
∵QP⊥AC，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠C=90°．
∴PQ∥BC．
∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C=90°，
∴四边形PCBQ是矩形．
∴QB=PC．
∴AP=PC．
∴[AP/AC]=[1/2]．
故答案为：[1/2]．
（2）如图5，
由题可知：当QP⊥AC时，PQ最短．
∵QP⊥AC，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠C=90°．

∴PQ∥BC．
∵四边形PBQE是平行四边形，
∴EP∥BQ，EP=BQ．
∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C=90°，
∴四边形PCBQ是矩形．
∴QB=PC，PQ=BC=3．
∴EP=PC．
∵AE=nPA，
∴PC=EP=EA+AP
=nPA+AP
=（n+1）AP．
∴AC=AP+PC
=AP+（n+1）AP
=（n+2）AP．
∴[AP/AC]=[AP
(n+2)AP=
1/n+2]．
故答案分别为：3、[1/n+2]．
（3）过点C作CH⊥AB，垂足为H，如图6，
由题可知：当QP⊥AB时，PQ最短．
∵QP⊥AB，CH⊥AB，
∴∠APQ=∠AHC=90°．
∴PQ∥HC．
∵四边形PCQE是平行四边形，
∴EP∥CQ，EP=CQ．
∵PH∥CQ，PQ∥HC，∠PHC=90°，
∴四边形PHCQ是矩形．
∴QC=PH，PQ=HC．
∴EP=PH．

∵AE=nPA，
∴EP=EA+AP
=nPA+AP
=（n+1）AP．
∴EH=2EP=2（n+1）AP．
∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5．
∵∠HAC=∠CAB，∠AHC=∠ACB=90°，
∴△AHC∽△ACB．
∴[AH/AC]=[HC/CB]=[AC/AB]．
∵BC=3，AC=4，AB=5，
∴[AH/4]=[HC/3]=[4/5]．
∴AH=[16/5]，HC=[12/5]．
∴PQ=HC=[12/5]，EH=AE+AH=nPA+[16/5]．
∴EH=2（n+1）AP=nPA+[16/5]．
∴（2n+2-n）AP=[16/5]．
∴AP=[16/5n+10]．
∴[AP/AC]=[16
4(5n+10)=
4/5n+10]．
故答案分别为：

1年前

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