如图，等腰梯形ABCD的BC边位于x轴上，A点位于y轴上，∠ABC=45°，BD平分AO（O为坐标原点），并且B（-1，

（1）∵AD∥BO，BD平分AO
∴AD=BO
∵等腰梯形ABCD的∠ABC=45°
∴OC=2OB，OA=OB
即A（0，1），B（-1，0），C（2，0）
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-2），把A（0，1）代入得，a=-[1/2]
∴抛物线的解析式为：y=-[1/2x2+
1
2]x+1；

（2）设直线BP交CD于E（m，n），由题意知2S_△BEC=S_梯形ABCD
∴2×[3m/2]=
(1+3)×1
2
∴n=[2/3]
用待定系数法求出直线CD的解析式为：y=-x+2
把E点的坐标代入CD的解析式得m=[4/3]
∴E（[4/3]，[2/3]）
用待定系数法求出BE的解析式为y=[2/7]x+[2/7]，
与抛物线的解析式y=-[1/2x2+
1
2]x+1建立方程组求得

x＝
10
7
y＝
34
49
∴P（[10/7]，[34/49]）

（3）存在
①当∠BAQ=90°时，如图，AQ与x轴交于F，做QH⊥x轴于H，设Q（m，t）
∴△ABF、△QHF都为等腰直角三角形
∴F（1，0），QH=FH，即-t=m-1，t=-[1/2]m²+[1/2]m+1，求得m=3
∴QH=FH=2
∴AQ=AF+FQ=3