badboiess
春芽
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可以用向量证,也可以用如下方法
设α,β是锐角,作直径AB=1的圆O,C,D是位于AB两侧的圆周上的两点,连结CD,由托勒密定理有
CD•AB=BC•AD+AC•BD. (*)
(1)设∠CAB=α,∠DAB=β(如图1),则AC=cosα,BC=sinαAD=cosβ,BD=sinβ,CD=sin(α+β),代入(*)得
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,(1)(2)设∠CAB=α,∠DBA=β,α≥β,AC=cosα,BC=sinα,AD=sinβ,BD=cosβ,CD=cos(α-β),
代入(*)得
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,(2)
由诱导公式易见(1),(2)对任意角α,β都成立,若用-β替换(1),(2)中的β,则可得
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,(3)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(4)
1年前
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