（2012•九江一模）已知函数f（x）=x-acosx，x∈（−π2，π2）．

解题思路：（1）先求f′（x）=0的值，再分别判定在f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值．
（2）对字母a进行分类讨论：当|a|≤1时，f′（x）＞0恒成立，没有极值；当a＞1时，由于y=asinx单调增，f（x）在x∈（−

π

2

，

π

2

）没有极大值；当a＜-1时，得a＜asinx＜-a，此时，f（x）在x∈（−

π

2

，

π

2

）有极大值．

f′（x）=1+asinx，
（I）当a=-2时，f′（x）=1-2sinx，当f′（x）=0时，x=[π/6]．
当x∈（−
π
2，
π
6）时，f′（x）＞0时，当x∈（[π/6，
π
2]）时，f′（x）＜0时，
∴故当x=[π/6]时，f（x）有极大值，其极大值为f（[π/6]）=[π/6]+
3．（6分）
（II）当x∈（−
π
2，
π
2）时，|sinx|＜1，
（1）当|a|≤1时，得|asinx|＜1，此时，f′（x）＞0恒成立，没有极值；
（2）当a＞1时，得-a＜asinx＜a，此时，f′（x）=0即1+asinx=0有解，设为α，
由于y=asinx单调增，所以当x∈（-[π/2，α）时，f′（x）＜0，x∈（α，
π
2]）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x∈（−
π
2，
π
2）没有极大值；
（3）当a＜-1时，得a＜asinx＜-a，此时，f′（x）=0即1+asinx=0有解，设为β，
由于y=asinx单调增，所以当x∈（-[π/2，β）时，f′（x）＞0，x∈（β，
π
2]）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈（−
π
2，
π
2）有极大值；
综上所述，f（x）有极大值，实数a的取值范围（-∞，-1）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题综合考查了函数的导数的运用及利用导数研究函数的极值，体现了分类讨论的思想在解题中的应用．