设f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，且不恒为0，记gn(x)＝f(x)xn(n∈N*)．若对定义域内的每一个x，总

解题思路：（1）根据“n阶不减函数”的定义，设g1(x)＝

f(x)

x

=

a

x4

−

1

x2

−1，将[g₁（x）]′≥0化简整理，可得a≤

1

2

x2在（0，+∞）上恒成立，因此a≤0．再将a≤0代入g₁（x）表达式，可得g₁（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，由此可得满足条件的实数a的取值范围为（-∞，0]；
（2）分两步：①根据“存在常数c，使得f（x）＜c恒成立”，结合反证法证出g₂（x）≤0对任意x∈（0，+∞）成立，从而得到f（x）≤0任意x∈（0，+∞）恒成立；②根据“2阶不减函数”的性质，结合函数的单调性和不等式的性质证出方程f（x）=0无解．由以上两条，即可得到所有满足题设的f（x）都是“2阶负函数”．

（1）依题意，g1(x)＝
f(x)
x＝
a
x4−
1
x2−1在（0，+∞）上单调递增，
故[g1(x)]′＝−
4a
x5+
2
x3≥0恒成立，得a≤
1
2x2，…（2分）
因为x＞0，所以a≤0． …（4分）
而当a≤0时，g1(x)＝
a
x4−
1
x2−1＜0显然在（0，+∞）恒成立，
所以a≤0．…（6分）
（2）①先证f（x）≤0：
若不存在正实数x₀，使得g₂（x₀）＞0，则g₂（x）≤0恒成立．…（8分）
假设存在正实数x₀，使得g₂（x₀）＞0，则有f（x₀）＞0，
由题意，当x＞0时，g2′(x)≥0，可得g₂（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＞x₀时，
f(x)
x2＞
f(x0)
x02恒成立，即f(x)＞
f(x0)
x02•x2恒成立，
故必存在x₁＞x₀，使得f(x1)＞
f(x0)
x02•x12＞m（其中m为任意常数），
这与f（x）＜c恒成立（即f（x）有上界）矛盾，故假设不成立，
所以当x＞0时，g₂（x）≤0，即f（x）≤0；…（13分）
②再证f（x）=0无
假设存在正实数x₂，使得f（x₂）=0，
则对于任意x₃＞x₂＞0，有
f(x3)
x32＞
f(x2)
x22＝0，即有f（x₃）＞0，
这与①矛盾，故假设不成立，
所以f（x）=0无解，
综上得f（x）＜0，即g₂（x）＜0，
故所有满足题设的f（x）都是“2阶负函数”．…（16分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

考点点评： 本题给出“n阶负函数”和“n阶不减函数”的定义，讨论了2阶不减函数”f（x）能成为“2阶负函数”的条件，着重考查了利用导数研究函数的单调性、反证法思想和不等式的性质等知识，属于中档题．