设P是椭圆x05/4+y05=1上的一点,A是椭圆的左顶点,F1,F2分别为椭圆左右焦点则,向量PA·向量PF1

设P(x,y),Q为P关于原点的对称点
则向量PO = (-x,-y),向量PA=(-2-x,-y)
∴向量PF1 + 向量PF2
= 向量PQ
= 2·向量PO
= (-2x,-2y)
∵x²/4 + y²=1,
∴y²= 1 - x²/4 ,-2≤x≤2
∴向量PA·向量PF1+向量PA·向量PF2
=向量PA·(向量PF1 + 向量PF2)
=(-2-x,-y)·(-2x,-2y)
=4x+2x²+2y²
=4x + 2x² + 2(1 - x²/4)
=(3/2)x² + 4x + 2 ,-2≤x≤2
开口向上,对称轴为x= - 4/3
∴当x=2时有最大值16

PA·PF1+PA·PF2 =PA·(PF1+PF2)=2PA·PO。由于A是左顶点，从图形上可以很直观的看出当P位于右顶点时，PA,PO都取得最大值，而夹角也为零，显然此时原式取得最大值，为
2×（2+2，0）·（2，0）=16