已知函数f(x)=1/2x^2+lnx.求证:在区间【1,+∞】上,f(x)的图像在g(x)=2/3x^3的图像

已知函数f(x)=1/2x^2+lnx.求证:在区间[1,+∞]上,f(x)的图像在g(x)=2/3x^3的图像的下方.
【解】设h(x)= f(x)- g(x)= 1/2x^2+lnx-2/3x^3,
h′(x)=x+1/x-2x²=(x²+1-2x³)/x=[( x²- x³)+(1- x³)]/x
=[ x² ( 1- x)+(1- x)(1+x+ x²)]/x
=( 1- x) (2x²+x+1) /x
在区间[1,+∞]上,h′(x)= ( 1- x) (2x²+x+1) /x