如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D
| 如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D （1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形， 保留痕迹，不要求写作法）； （2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线； （3）若过A，D，C三点的圆的半径为  ，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由. |
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（1）作出圆心O，
以点O为圆心，OA长为半径作圆
（2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°
∴AD是⊙O的直径
连结OC，∵∠A=∠B=30°， ∴∠ACB=120°，
又∵OA=OC， ∴∠ACO=∠A =30°
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°
∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线.
（3）存在.
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B， 即DB=DC
又∵在Rt△ACD中，
DC=AD
，
∴BD=
①过点D作DP 1 // OC，
则△P 1 D B∽△COB，
，
∵BO=BD+OD=
，
∴P 1 D=
×OC=
× 
=
②过点D作DP 2 ⊥AB
则△BDP 2 ∽△BCO
∴
，
∵BC=
∴
以点O为圆心，OA长为半径作圆
（2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°
∴AD是⊙O的直径
连结OC，∵∠A=∠B=30°， ∴∠ACB=120°，
又∵OA=OC， ∴∠ACO=∠A =30°
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°
∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线.
（3）存在.
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B， 即DB=DC
又∵在Rt△ACD中，
DC=AD
，∴BD=
①过点D作DP 1 // OC，
则△P 1 D B∽△COB，
， ∵BO=BD+OD=
，∴P 1 D=
×OC=
× 
=
②过点D作DP 2 ⊥AB
则△BDP 2 ∽△BCO
∴
， ∵BC=
∴
1年前
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1年前1个回答
你能帮帮他们吗