（2012•西区模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，F为椭圆的右焦点，M、N两点在椭圆

解题思路：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0）通过λ=1时，

MF

＝

FN

，M、N两点在椭圆上，求出x1 ＝x2 ，然后通过数量积证明

MN

⊥

AF

．
（2）当λ=1时，不妨设M（c，

b2

a

），N（c，−

b2

a

），通过λ＝1时，有

AM

•

AN

＝

106

3

，求出a，b，得到椭圆的方程．

（1）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0）
则

MF＝(c−x1，−y1)，

FN＝(x2−c，y2)，
当λ=1时，

MF＝

FN∴-y₁=y₂，x₁+x₂=2c，
由M、N两点在椭圆上，
∴x12＝a2(1−
y12
b2)，x22＝a2(1−
y22
b2)，
∴x12＝x22若
x1 ＝−x2 ，则x1 +x2 ＝0≠2，（舍去），
所以x1 ＝x2 ，
∴

MN＝(0，2y2)，

AF＝(4+c，0)，


MN•

AF＝0，
∴

MN⊥

AF．
（2）当λ=1时，不妨设M（c，
b2
a），N（c，−
b2
a），


AM•

AN＝(c+4)2−
b4
a 2＝
106
3，
因为a²=[3/2c2，b2＝
1
2c2，
∴
5
6c2+8c+16＝
106
3]，
∴c=2，a²=6，b²=2，
故椭圆的方程为
x2
6+
y2
2＝1．

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆的简单性质，向量在几何中的应用，椭圆的标准方程，考查函数与方程的思想，计算能力．