设函数f（x）=x2+aln（x+1）

解题思路：（Ⅰ）当a=-4时，f′(x)＝2x−

4

x+1

＝

2(x+2)(x−1)

x+1

，(x＞−1)，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）f′(x)＝2x+

a

x+1

＝

2x2+2x+a

x+1

，(x＞−1)，由函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，知2x²+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）对于方程2x²+2x+a=0，△=4-8a，当△≤0时，f'（x）＞0，f（x）在区间[0，1]上单调递增不合题意．当△＞0时，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程2x²+2x+a=0的两个根，由此能求出实数a的取值范围．

（本小题满分14分）
（Ⅰ）a=-4，f（x）=x²-4ln（x+1）（x＞-1），
f′(x)＝2x−
4
x+1＝
2(x+2)(x−1)
x+1，(x＞−1)，（2分）
∴当-1＜x＜1时f'（x）＜0，
当x＞1时f'（x）＞0
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递减，
在（1，+∞）上单调递增，（5分）
（Ⅱ）f′(x)＝2x+
a
x+1＝
2x2+2x+a
x+1，(x＞−1)
∵函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴2x²+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，（8分）
令t＝2x2+2x＝2(x+
1
2)2−
1
2，(x≥2)，则t≥12
∴a≥-12．（10分）
（Ⅲ）对于方程2x²+2x+a=0，△=4-8a
当△≤0时，f'（x）＞0，f（x）在区间[0，1]上单调递增不合题意
当△＞0时，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程2x²+2x+a=0的两个根，（12分）
根据题意有x₁＜0＜x₂且f（0）＞f（1）
∴

a＜0
aln1＞1+aln2
4−8a＞0，解得a＜-log₂e
∴实数a的取值范围为（-∞，-log₂e）．（14分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．