已知函数f（x）=lnx- a x ，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且 f ′ (x)=
x+a
x 2 ，
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a；
故f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）g（x）=ax-
a
x -5lnx ，g（x）的定义域为（0，+∞），
g ′ (x)=a+
a
x 2 -
5
x =
a x 2 -5x+a
x 2 ，
因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，
∴ax ² -5x+a≥0，
∴a（x ² +1）≥5x，
即 a≥
5x
x 2 +1 ，
∴ a≥ [
5x
x 2 +1 ] max ．
∵
5x
x 2 +1 =
5
x+
1
x ≤
5
2 ，当且仅当x=1时取等号，
所以a ≥
5
2 ．
（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x-
2
x -5lnx ， g ′ (x)=
2 x 2 -5x+2
x 2 ，
由g′（x）=0，得x=
1
2 或x=2．
当 x∈(0，
1
2 ) 时，g′（x）≥0；当x ∈(
1
2 ，1) 时，g′（x）＜0．
所以在（0，1）上， g(x) max =g(
1
2 )=-3+5ln2 ，
而“∃x ₁ ∈（0，1），∀x ₂ ∈[1，2]，总有g（x ₁ ）≥h（x ₂ ）成立”等价于
“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
所以有

g(
1
2 )≥h(1)
g(
1
2 ) ≥h(2) ，
∴

-3+5ln2≥5-m
-3+5ln2≥8-2m ，
∴

m≥8-5ln2
m≥
1
2 (11-5ln2) ，
解得m≥8-5ln2，
所以实数m的取值范围是[8-5ln2，+∞）．