已知F1、F2分别为椭圆C：：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右两个焦点．若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点
已知F1、F2分别为椭圆C：：
+
=1（a＞b＞0）的左右两个焦点．若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN．求证：kpM、kpN是与点P位置无关的定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
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解题思路：设点M（m，n）是椭圆：
+
=1上的任一点，则
+
=1，设P（x，y）是椭圆上任一点，推导出kPM•kPN=
=-
．由此证明kPM•kPN是与点P位置无关的定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| m2 |
| a2 |
| n2 |
| b2 |
| y2−n2 |
| x2−m2 |
| b2 |
| a2 |
设点M（m，n）是椭圆：
x2
a2+
y2
b2=1①上的任一点，
N（-m，-n）是M关于原点的中心对称点，则
m2
a2+
n2
b2=1②
又设P（x，y）是椭圆上任一点，且kPM•kPN存在．
则kPM=[y−n/x−m]，kPN=[y+n/x+m]，
∴kPM•kPN=[y−n/x−m]•[y+n/x+m]=
y2−n2
x2−m2．
①-②得
x2−m2
a2+
y2−n2
b2=0，
∴
y2−n2
x2−m2=-
b2
a2，
∴kPM•kPN=-
b2
a2．
∴kPM•kPN是与点P位置无关的定值．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查椭圆的性质的应用，涉及到椭圆、直线方程、斜率等知识点，是中档题．
1年前
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