丹丹628 幼苗
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|f(x1)−f(x2)| |
|x1−x2| |
|g(x1)−g(x2)| |
|x1−x2| |
(1)f(x)=lnx得f′(x)=[1/x],
函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=1,切线方程为:y-0=x-1即y=x-1.
由已知得它与g(x)的图象相切,将y=x-1代入得x-1=[1/2]x2-bx,即[1/2]x2-(b+1)x+1=0,
∴△=(b+1)2-2=0,解得b=±
2-1,
即实数b的值为±
2-1.
(2)h(x)=f(x)+g(x)=lnx+[1/2]x2-bx,
∴h′(x)=[1/x]+x-b,
根据函数h(x)在定义域(0,+∞)上存在单调减区间,
∴存在x>0,使得[1/x]+x-b<0,即b>[1/x]+x,
由于当x>0时,[1/x]+x≥2,
∴b>2.
∴实数b 的取值范围(2,+∞).
(3)对于区间[1,2]上的任意实数x,f′(x)=[1/x]∈[[1/2],1].
g′(x)=x-b∈[1-b,2-b],
要使得对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,
若用注意到f(x)是增函数,不妨设x1>x2,则f(x1)>f(x2),问题转化为|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|
等价于-f(x1)+f(x2)<g(x1)-g(x2)<f(x1)-f(x2)从而f(x1)-g(x1)>f(x2)-g(x2)且f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2),
即f(x)-g(x)与f(x)+g(x)都是增函数,
利用导数的几何是切线的斜率,得到|f′(x)|>|g′(x)|,
即[1/x]>|b-x|,于是x-[1/x]≤b≤x+[1/x]即(x-[1/x])max≤b≤(x+[1/x])min
∴[3/2]≤b≤2.
则b的取值范围[[3/2],2].
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题;函数的单调性与导数的关系.
考点点评: 对于已知函数单调性,求参数范围问题的常见解法;设函数f(x)在(a,b)上可导,若f(x)在(a,b)上是增函数,则可得f′(x)≥0,从而建立了关于待求参数的不等式,同理,若f(x)在(a,b)上是减函数,则可得f′(x)≤0.
1年前
1年前1个回答
(2013•浙江模拟)已知函数f(x)=13x3−ax+1.
1年前1个回答
你能帮帮他们吗