如图，△ABC是边长为1的等边三角形，P是AB边上的一个动点（P与B不重合），以线段CP为边作等边△CPD（D、A在BC

（1）四边形ABCD是梯形或菱形，证明如下：
①当点P不与点A重合时，
∵△ABC与△CPD都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCP=60°，
∴∠1=∠2，
又∵AC=BC，DC=PC，
∴△ADC≌△BPC，
∴∠DAC=∠B=∠BCA=60°，
∴AD∥BC．
又∵∠1=∠2＜60°，
∴∠DCB＜120°，即∠B+∠DCB＜180°，
∴DC与AB不平行，
∴四边形ABCD是梯形；
②当点P与点A重合时，PC与AC重合，此时AB=BC=CA=AD=DC，四边形ABCD是菱形，
综上所述，四边形ABCD是梯形或菱形；

（2）由（1）知∠BAD=120°，AD=BP=x，过P作DA延长线的垂线PM，M为垂足，
则∠PAM=60°，∠APM=30°，
又BP=x，AB=1，
∴AP=1-x，
∴AM=[1/2(1−x)，PM=

3
2(1−x)
∴y＝
1
2AD•PM＝
1
2x•

3
2(1−x)＝−

3
4(x2−x)＝−

3
4(x−
1
2)2+

3
16]（0＜x＜1）．
当x＝
1
2时，y取最大值为

3
16，即当x＝
1
2时△PAD面积取得最大面积为

3
16．

点评：
本题考点： 二次函数的最值；等边三角形的性质．

考点点评： 本题考查了二次函数的最值及等边三角形的性质，难度较大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．