已知椭圆C 1 ： x 2 4 + y 2 =1 和动圆 C 2 ： x 2 + y 2 = r 2 (r＞0) ，直线

（Ⅰ）由


x 2
4 + y 2 =1
y=kx+m ，得（1+4k ² ）x ² +8kmx+4（m ² -1）=0．
由于l与C ₁ 有唯一的公共点A，故△ ₁ =64k ² m ² -16（1+4k ² ）（m ² -1）=0，
从而m ² =1+4k ² ①
由

x 2 + y 2 = r 2
y=kx+m ，得（1+k ² ）x ² +2kmx+m ² -r ² =0．
由于l与C ₂ 有唯一的公共点B，故△ ₂ =4k ² m ² -4（1+k ² ）（m ² -r ² ）=0，
从而m ² =r ² （1+k ² ） ②
由①、②得k ² =
r 2 -1
4- r 2 ．
由k ² ≥0，得1≤r ² ＜4，所以r的取值范围是[1，2）．
（Ⅱ）设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），由（Ⅰ）的解答可知
x ₁ =-
4km
1+4 k 2 =-
4k
m ，x ₂ =-
km
1+ k 2 =-
k r 2
m ．
|AB| ² =（1+k ² ）（x ₂ -x ₁ ） ² =（1+k ² ）•
k 2 (4- r 2 ) 2
m 2 =
1+ k 2
m 2 •k ² •（4-r ² ） ²
=
1
r 2 •
r 2 -1
4- r 2 •（4-r ² ） ² =
( r 2 -1)(4- r 2 )
r 2 ，
所以|AB| ² =5-（r ² +
4
r 2 ）（1≤r＜2）．
因为r ² +
4
r 2 ≥2×2=4，当且仅当r=
2 时取等号，
所以当r=
2 时，|AB|取最大值1，此时C ₂ 的方程为x ² +y ² =2．