已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实数根．求实数a的取值范围．

解题思路：先把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a²-（x²+2x）a+x³-1=0，然后利用求根公式解得a=x-1或a=x²+x+1；于是有x=a+1或x²+x+1-a=0，再利用原方程只有一个实数根，确定方程x²+x+1-a=0没有实数根，即△＜0，最后解a的不等式得到a的取值范围．

∵把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a²-（x²+2x）a+x³-1=0，则△=（x²+2x）²-4（x³-1）=（x²+2）²，
∴a=
x2+2x±(x2+2)
2，即a=x-1或a=x²+x+1．
所以有：x=a+1或x²+x+1-a=0．
∵关于x³-ax²-2ax+a²-1=0只有一个实数根，
∴方程x²+x+1-a=0没有实数根，即△＜0，
∴1-4（1-a）＜0，解得a＜[3/4]．
所以a的取值范围是a＜[3/4]．
故答案为：a＜[3/4]．

点评：
本题考点： 根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了转化得思想方法在解方程中的应用．

记f(x)=x³-ax²-2ax+a²-1,由于f(x)是三次函数，故f(x)至少有一个零点，而题目中限制只有一个实根，故要么f(x)单调递增，要么极小值大于零。根据此思路，解答如下：

f '(x)=3x²-2ax-2a ,
由二次方程f ‘（x）=0 得Δ=4a2+24a=0；
解得a=0，或a= -6；
当Δ

三次方程只有一个实数根，那么说明函数的导数恒大于等于0或恒小于等于0
f'(x) = 3x^2-2ax-2a
这个函数要恒大于或等于0
那么判别式4a^2+24a<=0
a^2+6a<=0
-6<=a<=0