设函数f（x）=x2-alnx+bx

f′(x)＝2x−
a
x+b=
2x2+bx−a
x．（x＞0）．
（1）∵函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减．
∴f′（x）满足在（0，1]上f′（x）≥0，在[1，e）上f′（x）≤0．
∴f′（1）=2+b-a=0，即a=2+b．
可得2x²+bx-2-b=（2x+2+b）（x-1）．
∴在（0，1]上2x+2+b≤0，∴b≤（-2x-2）_min=-4．
在[1，e）上2x+2+b≥0．∴b≥（-2x-2）_max=-4．
∴实数b的最大值是-4．
（2）由f（x）＜0即x²-alnx+bx＜0，
∴a＞
x2+bx
lnx对任意的x∈（1，e），-2≤b≤-1都成立．
令g（b）=
x2+bx
lnx=[x/lnxb+
x2
lnx]．
由于x∈（1，e），∴[x/lnx＞0，
因此当b取最大值-1时，g（b）取得最大值
x2−x
lnx]．
∴a＞
x2−x
lnx，x∈（1，e），
化为alnx-x²+x＞0，x∈（1，e）．
令h（x）=alnx-x²+x＞0，x∈（1，e），可知h（1）=0．
由h′（x）=[a/x−2x+1≥0，可得a≥2x²-x=2(x−
1
4)2−
1
8]，
由二次函数的单调性可知：当x=1时，取得最大值1，
∴a≥1．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了变量分化、转变主元、逐个解决的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

1年前

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