f（x）在（0,1)上可导,在[0,1]连续.且f(1)=0,试证明存在ξ属于[0,1]使得f(ξ)'= -2f(ξ)/
f（x）在（0,1)上可导,在[0,1]连续.且f(1)=0,试证明存在ξ属于[0,1]使得f(ξ)'= -2f(ξ)/ξ成立
赞 fishtea1116 春芽
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证明：构造辅助函数证明
将要证明的表达式的ξ换成x,整理有
f'(x)/f(x)=-2/x
两边积分得
lnf(x)=-2lnx+lnC
知C=x²f(x)=g(x) （记）
由初等函数性质知g(x) 在[0,1]连续,在(0,1)可导,且有g(0)=g(1)=0
知g(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件
则存在ξ∈(0,1)使得
g'(ξ)=0
即ξ[2f(ξ)+f'(ξ)ξ]=0
又ξ≠0那么2f(ξ)+f'(ξ)ξ=0
整理便得证.
将要证明的表达式的ξ换成x,整理有
f'(x)/f(x)=-2/x
两边积分得
lnf(x)=-2lnx+lnC
知C=x²f(x)=g(x) （记）
由初等函数性质知g(x) 在[0,1]连续,在(0,1)可导,且有g(0)=g(1)=0
知g(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件
则存在ξ∈(0,1)使得
g'(ξ)=0
即ξ[2f(ξ)+f'(ξ)ξ]=0
又ξ≠0那么2f(ξ)+f'(ξ)ξ=0
整理便得证.
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