设f（x）=g(x)−e−xxx≠00x＝0，其中g（x）有二阶连续导数，且g（0）=g′（0）=-1．

（1）当x≠0时，由f（x）=


g(x)−e−x
xx≠0
0x＝0，得：
f′(x)＝
x[g′(x)+e−x]−g(x)+e−x
x2=
xg′(x)−g(x)+(x+1)e−x
x2
当x=0时，f′(0)＝
lim
x→0
f(x)−f(0)
x
=
lim
x→0
g(x)−e−x
x2（洛必达法则）
=
lim
x→0
g′(x)+e−x
2x（洛必达法则）
=
lim
x→0
g″(x)−e−x
2=
g″(0)−1
2
∴f′(x)＝


xg′(x)−g(x)+(x+1)e−x
x2，x≠0

g″(0)−1
2，x＝0
（2）由于g（x）具有二阶连续导数，
∴当x≠0时，f'（x）连续
又当x=0时，
lim
x→0f′(x)＝
lim
x→0
xg′(x)−g(x)+(x+1)e−x
x2=
lim
x→0
g′(x)+xg″(x)−g′(x)+e−x−(x+1)e−x
2x
=
lim
x→0
xg″(x)−xe−x
2x＝
lim
x→0
g″(x)−e−x
2=
g″(0)−1
2＝f′(0)
∴f（x）在x=0处连续
∴f（x）在（-∞，+∞）连续

点评：
本题考点： 函数连续的充要条件．

考点点评： 此题在求极限过程中，要注意题目的已知条件“g（0）=g′（0）=-1”，这会让我们明白什么时候满足洛必达法则的条件．