下面命题正确的是______．①存在实数α，使sinαcosα=1；②若α，β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tan

解题思路：①sinαcosα利用二倍角的正弦函数公式化简，根据正弦函数的值域得到sinαcosα的范围，根据范围得到其值不能等于1，本选项错误；
②由α，β是第一象限角，可找两个角且α＞β，但是tanα＜tanβ，利用反例可说明本选项错误；
③把已知的不等式移项后，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据A和B为三角形的内角，可得出A+B为钝角，从而得到C为锐角，但是A和B不一定为锐角，故此三角形不一定为锐角三角形，本选项错误；
④把函数利用同角三角函数间的基本关系化为关于sinx的二次函数，根据sinx的值域，利用二次函数的性质可求出函数的最小值，即可作出判断；
⑤根据题意得出sinθ与cosθ异号，得出θ为第二或第四象限角，进而得到[θ/2]是第一或第四象限角，本选项错误．

①∵sinαcosα=[1/2]sin2α，且sin2α∈[-1，1]，
∴sinαcosα∈[-[1/2]，[1/2]]，
则不存在实数α，使sinαcosα=1，本选项错误；
②若α，β是第一象限角，令α=[13π/6]，β=[π/3]，
满足α＞β，但是tanα=tan（2π+[π/6]）=tan[π/6]=

3
3，tanβ=
3，
即tanα＜tanβ，本选项错误；
③sinAsinB＞cosAcosB，变形得：cosAcosB-sinAsinB＜0，
即cos（A+B）＜0，又A和B都为三角形的内角，
∴A+B∈（[π/2]，π），即C为锐角，
但三角形不一定为锐角三角形，本选项错误；
④函数y=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-[1/2]）²+[5/4]，
又-1≤sinx≤1，
则当sinx=-1时，函数有最小值，最小值为-1，本选项正确；
⑤由cosθ＜0且sinθ＞0，得到θ为第二或四象限，
则[θ/2]为第一象限或第四象限，本选项错误，
则正确的选项为④．
故答案为：④

点评：
本题考点： 两角和与差的余弦函数；二次函数的性质；三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系；正切函数的单调性．

考点点评： 此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，正弦函数的值域，二次函数的性质，三角函数在各象限的符号，以及同角三角函数间的基本关系，综合性比较强，要求学生掌握知识要全面．