箱子中有若干枚硬币,12个小朋友依次按照下列方案从箱子中拿硬币 第1人拿了总数的1/12,.,第k个人拿的数量是上一次剩
箱子中有若干枚硬币,12个小朋友依次按照下列方案从箱子中拿硬币 第1人拿了总数的1/12,.,第k个人拿的数量是上一次剩下硬币数量的k/12.已知每个人拿的硬币数量都是正整数,求原先箱子中至少有多少枚硬币?最后一个人拿了多少枚硬币?
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设箱子中有n枚硬币,
第1人拿了总数的1/12,即n/12,剩下n(1-1/12)=n(11/12)；
第2人拿了剩下的2/12,即n(11/12)(2/12),剩下n(1-1/12)(1-2/12)=n(11/12)(10/12)；
第3人拿了剩下的3/12,即n(11/12)(10/12)(3/12),剩下n(1-1/12)(1-2/12)(1-3/12)=n(11/12)(10/12)(9/12)；
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第k人拿了剩下的k/12,即n(11/12)...(k/12),剩下n(1-1/12)...(1-k/12)=n(11/12)...[12-k)/12]；
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第11人拿了剩下的11/12,即n(11/12)...(11/12),剩下n(1-1/12)...(1-k/12)=n(11/12)...(1/12)；
第12人拿了剩下的12/12,即n(11/12)...(1/12)(12/12),剩下n(1-1/12)...(1-12/12)=0
最后一个人拿了n(12!)/12^12=n(479001600/8916100448256)
479001600=(2^10)(3^5)(5^2)*7*11
8916100448256=(2^24)(3^12)
n(479001600/8916100448256)
=n[(5^2)*7*11]/[(2^14)(3^7]
=1925n/35831808
原先箱子中至少有35831808枚硬币；
最后一个人拿了1925枚硬币.
第1人拿了总数的1/12,即n/12,剩下n(1-1/12)=n(11/12)；
第2人拿了剩下的2/12,即n(11/12)(2/12),剩下n(1-1/12)(1-2/12)=n(11/12)(10/12)；
第3人拿了剩下的3/12,即n(11/12)(10/12)(3/12),剩下n(1-1/12)(1-2/12)(1-3/12)=n(11/12)(10/12)(9/12)；
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第k人拿了剩下的k/12,即n(11/12)...(k/12),剩下n(1-1/12)...(1-k/12)=n(11/12)...[12-k)/12]；
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第11人拿了剩下的11/12,即n(11/12)...(11/12),剩下n(1-1/12)...(1-k/12)=n(11/12)...(1/12)；
第12人拿了剩下的12/12,即n(11/12)...(1/12)(12/12),剩下n(1-1/12)...(1-12/12)=0
最后一个人拿了n(12!)/12^12=n(479001600/8916100448256)
479001600=(2^10)(3^5)(5^2)*7*11
8916100448256=(2^24)(3^12)
n(479001600/8916100448256)
=n[(5^2)*7*11]/[(2^14)(3^7]
=1925n/35831808
原先箱子中至少有35831808枚硬币；
最后一个人拿了1925枚硬币.
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