已知☉O:x 2 +y 2 =1和定点A(2,1),由☉O外一点P(a,b)向☉O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=

(1) 2a+b-3= (2) (3) (x- ) ² +(y- ) ² =( -1) ²

(1)连接OP,

∵Q为切点,
∴PQ⊥OQ,
由勾股定理有|PQ| ² =|OP| ² -|OQ| ² .
又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ| ² =|PA| ² .
即(a ² +b ² )-1 ² =(a-2) ² +(b-1) ² .
化简得实数a,b间满足的等量关系为:2a+b-3=0.
(2)方法一:由2a+b-3=0,得b=-2a+3.
|PQ|= =
= = .
故当a= 时,|PQ| _min = .即线段PQ长的最小值为 .
方法二:由(1)知,点P在直线l:2x+y-3=0上.
∴|PQ| _min =|PA| _min ,即求点A到直线l的距离.
∴|PQ| _min = = .
(3)设☉P的半径为R,
∵☉P与☉O有公共点,☉O的半径为1,
∴|R-1|≤|OP|≤R+1.
即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1.
而|OP|= =
= ,
故当a= 时,|OP| _min = .
此时,b=-2a+3= ,R _min = -1.
得半径取最小值时☉P的方程为(x- ) ² +(y- ) ² =( -1) ² .