（2014•盐城二模）已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n

解题思路：（1）在已知条件中，取n为具体值可得a₁，a₂，a₃成等差数列，a₃，a₄，a₅成等差数列，a₂，a₃，a₄成等比数列，由等差中项的概念和等比中项的概念结合a₂=1，a₅=3列式求得a₁的值；
（2）当n为大于等于3的奇数时，由已知可得a_n，a_n+1，a_n+2成等差数列，利用作差法证明

an+2

an+1

≤

an+1

an

；
当n为大于等于2的偶数时，由已知可得a_n，a_n+1，a_n+2成等比数列，由等比中项的概念可得

an+2

an+1

＝

an+1

an

，
则有

an+2

an+1

≤

an+1

an

≤…≤

a3

a2

．验证

a3

a2

＜

a2

a1

后即可得到对任意n∈N^*，且n≥2，都有

an+1

an

＜

a2

a1

．

（1）由a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差数列，可知a₁，a₂，a₃成等差数列，a₃，a₄，a₅成等差数列，
由a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比数列，可知a₂，a₃，a₄成等比数列，
则

2＝a1+a3
a32＝a2a4
2a4＝a3+a5，
又a₂=1，a₅=3，
∴

2＝a1+a3
a32＝a4
2a4＝a3+3，则2a32＝a3+3，解得a3＝
3
2或a₃=-1（舍），
∴a1＝2−
3
2＝
1
2；
（2）证明：①若n为奇数且n≥3时，则a_n，a_n+1，a_n+2成等差数列，
∵
an+2
an+1−
an+1
an＝
an+2

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查了数列与不等式的综合，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用作差法求证不等式，综合考查了学生的灵活应变能力，属有一定难度的题目．