已知函数f（x）=ex（ax2+a+1）（a∈R）．

解题思路：（Ⅰ）把a=-1代入曲线方程，求出x=1的点的坐标，把原函数求导后求出f^′（1），直接由点斜式写出切线方程；
（Ⅱ）由在区间[-2，-1]上，f(x)≥

2

e2

恒成立，取x=-2时求出a的初步范围，然后把函数f（x）求导，经分析导函数大于0恒成立，得到函数f（x）在[-2，-1]上为增函数，由其在[-2，-1]上的最小值f（-2）大于等于

2

e2

解出a的范围．

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-e^xx²，f（1）=-e．
f^′（x）=-（x²+2x）e^x，则k=f^′（1）=-3e．
∴切线方程为：y+e=-3e（x-1），即y=-3ex+2e．
（Ⅱ）由f(−2)＝e−2(4a+a+1)≥
2
e2，得：a≥
1
5．
f^′（x）=e^x（ax²+2ax+a+1）=e^x[a（x+1）²+1]．
∵a≥
1
5，∴f^′（x）＞0恒成立，故f（x）在[-2，-1]上单调递增，
要使f(x)≥
2
e2恒成立，则f(−2)＝e−2(4a+a+1)≥
2
e2，解得a≥
1
5．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，处理（Ⅱ）时运用了特值化思想，是该题的难点所在，此题属中档题．