设z是虚数，满足ω＝z+1z是实数，且-1＜ω＜2．

解题思路：（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围．
（2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数．
（3）ω−u2＝2a+

b2

(1+a)2

＝2a+

1−a2

(1+a)2

=2a+

1−a

1+a

＝2[(a+1)+

1

a+1

]−3，再利用基本不等式即可求ω-u²的最小值．

（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则ω＝z+
1
z＝a+bi+
1
a+bi＝a+bi+
a−bi
a2+b2＝a+
a
a2+b2+(b−
b
a2+b2)i
∵ω∈R∴b−
b
a2+b2＝0且b≠0得a²+b²=1即|z|=1
此时，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴−
1
2＜a＜1即z的实部的取值范围为(−
1
2，1)．…（4分）
（2）u＝
1−z
1+z＝
1−(a+bi)
1+(a+bi)＝
[(1−a)−bi][(1+a)−bi]
(1+a)2+b2．
∵a²+b²=1
∴u=−
b
1+ai又b≠0，−
1
2＜a＜1故u是纯虚数．…（8分）
（3）ω−u2＝2a+
b2
(1+a)2＝2a+
1−a2
(1+a)2=2a+
1−a
1+a＝2[(a+1)+
1
a+1]−3
由a∈(−
1
2，1)知(a+1)+
1
a+1≥2，
故当且仅当a+1＝
1
a+1，a＝0时ω-u²的最小值为1．…（14分）．

点评：
本题考点： 函数最值的应用；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．

考点点评： 本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错．