已知无穷数列an满足:a1=1/2015……一道数学高考证明题的BUG？
已知无穷数列an满足:a1=1/2015……一道数学高考证明题的BUG？
已知无穷数列｛An｝满足A1＝1/2015,An^2-2An-2A（n-1）＝0（n≥2）证明：1/（2-A1）+1/（2-A2）+...+1/（2-An）＜2015 标准解答：1/[2-a(1)]+1/a(1)-1/a(n)=2015+[1/[2-a(1)]-1/(an)] 2-a(1)>1>a(n)，1/[2-a(1)]-1/(an)<0，所以1/[2a(1)]+...+1/[2-a(n)]<2015。 但是因为a(n)的范围在0到0.5，an为无穷数列，显然不等式左边可以到无穷大。所以这样证明是什么地方有问题呢？
已知无穷数列｛An｝满足A1＝1/2015,An^2-2An-2A（n-1）＝0（n≥2）证明：1/（2-A1）+1/（2-A2）+...+1/（2-An）＜2015 标准解答：1/[2-a(1)]+1/a(1)-1/a(n)=2015+[1/[2-a(1)]-1/(an)] 2-a(1)>1>a(n)，1/[2-a(1)]-1/(an)<0，所以1/[2a(1)]+...+1/[2-a(n)]<2015。 但是因为a(n)的范围在0到0.5，an为无穷数列，显然不等式左边可以到无穷大。所以这样证明是什么地方有问题呢？
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这道题有巧法解的。
（一）a(n)^2=2[a(n)-a(n-1)]
因为a(n)^2恒大于等于0，所以a(n)大于等于a(n-1)。
若a(n)=a(n-1)，a(n)=0，不符合题意，所以a(n)>a(n-1)，单调递增。
（二）（1）[a(n)-1]^2=1-2a(n-1)，恒大于等于0，a(n-1)小于等于1/2，即a(n)小于等于1/2，若a(n-1)=1/2，a(n)=1，不符合a(n)小于等于1/2，所以a(n)a(n)，1/[2-a(1)]-1/(an)
这道题有巧法解的。
（一）a(n)^2=2[a(n)-a(n-1)]
因为a(n)^2恒大于等于0，所以a(n)大于等于a(n-1)。
若a(n)=a(n-1)，a(n)=0，不符合题意，所以a(n)>a(n-1)，单调递增。
（二）（1）[a(n)-1]^2=1-2a(n-1)，恒大于等于0，a(n-1)小于等于1/2，即a(n)小于等于1/2，若a(n-1)=1/2，a(n)=1，不符合a(n)小于等于1/2，所以a(n)a(n)，1/[2-a(1)]-1/(an)
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