（2011•宝坻区二模）已知f(x)＝23x3−ax2−3x，(a∈R)．

解题思路：（1）求出f（x）的导函数，根据|a|≤

1

2

的范围得到f′（-1）≤0且f′（1）≤0，因为导函数图象开口向上，所以导函数小于0，得到函数为减函数；
（2）设极值点为x₀∈（-1，1），则f′（x₀）=0，当a＞[1/2]时，f（x）在（-1，x₀）内是增函数，f（x）在（x₀，1）内是减函数．根据极值点的存在与否得到a的范围即可．

（1）证明：∵f（x）=[2/3]x³-ax²-3x，
∴f′（x）=2x²-2ax-3．∵|a|≤[1/2]，∴

f′(−1)＝2(a−
1
2)≤0
f′(1)＝−2(a+
1
2)≤0.
又∵二次函数f′（x）的图象开口向上，
∴在（-1，1）内f′（x）＜0．故f（x）在（-1，1）内是减函数．
（2）设极值点为x₀∈（-1，1），则f′（x₀）=0，
当a＞[1/2]时，∵

f′(−1)＝2(a−
1
2)＞0
f′(1)＝−2(a+
1
2)＜0.
∴在（-1，x₀）内f′（x）＞0，在（x₀，1）内f′（x）＜0，
即f（x）在（-1，x₀）内是增函数，f（x）在（x₀，1）内是减函数．
∴当a＞[1/2]时f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点且是极大值点．
当a＜−
1
2时，同理可知f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，且是极小值点．
当−
1
2≤a≤[1/2]时，由（1）知f（x）在（-1，1）内没有极值点．
故所求a的取值范围是（-∞，−
1
2）∪（[1/2]，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数研究函数极值的能力．