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(1)证明:若AC=BC,则△ABC为等腰直角三角形,
如答图1所示,连接CD,则CD⊥AB,又∵DM⊥DN,∴∠1=∠2.
在△AND与△CMD中,
∠1=∠2
AD=CD
∠A=∠DCM=45°
∴△AND≌△CMD(ASA),
∴DN=DM.
∵∠4+∠1=90°,∠1+∠3=90°,∴∠4=∠3,
∵∠1+∠3=90°,∠3+∠5=90°,∴∠1=∠5,
在△NED与△DFM中,
∠4=∠3
DN=DM
∠1=∠5
∴△NED≌△DFM(ASA),
∴NE=DF.
∵△ANE为等腰直角三角形,∴AE=NE,∴AE=DF.
(2)①答:AE=DF.
证法一:由(1)证明可知:△DEN∽△MFD
∴[DE/MF=
EN
DF],即MF•EN=DE•DF.
同理△AEN∽△MFB,
∴[AE/MF=
EN
BF],即MF•EN=AE•BF.
∴DE•DF=AE•BF,
∴(AD-AE)•DF=AE•(BD-DF),
∴AD•DF=AE•BD,∴AE=DF.
证法二:如答图2所示,过点D作DP⊥BC于点P,DQ⊥AC于点Q.
∵D为AB中点,
∴DQ=PC=PB.
易证△DMF∽△NDE,∴[DF/NE=
DM
DN],
易证△DMP∽△DNQ,∴[DM/DN=
DP
DQ=
DP
PB],
∴[DF/NE=
DP
PB];
易证△AEN∽△DPB,∴[AE/NE=
DP
PB],
∴
DF
NE=
点评:
本题考点: 相似形综合题.
考点点评: 本题是几何探究与证明综合题,考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质.题中三个结论之间逐级递进,体现了从特殊到一般的数学思想.
1年前
你能帮帮他们吗