已知f-1（x）为函数f（x）=[x/1+x]（x≠-1）的反函数，Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，且f-1（S

证明：（I）函数f（x）的反函数为f^-1（x）=
x/1−x]（x≠1）．
∵f^-1（S_n+1）=S_n（n∈N*），
∴S_n=
Sn+1
1−Sn+1，即[1
Sn+1−
1
Sn＝1，
∴数列{
1
Sn}是以1为公差，首项为1的等差数列．…（4分）
（II）由（I）知，
1
Sn＝1+(n−1)×1＝n，即S_n=
1/n]．
∴当n=1时，a_n=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=[1/n−
1
n−1]=-[1
n(n−1)，
即a_n=

1，n＝1
−
1
n(n−1)，n≥2 …（6分）
由题意得b_n=

2，n＝1
(n−1)•2n，n≥2…（7分）
∴当n=1时，T_n=T₁=b₁=2．
当n≥2时，
T_n=2+1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
2T_n=2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）•2ⁿ+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n-2T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+
23(1−2n−2)/1−2−(n−1)•2n+1，
即-T_n=（2-n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+6，
经验证n=1时，T₁的值也符合此公式，
∴对n∈N*，T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+6．…（12分）

点评：
本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了等差数列的定义及通项公式，错位相消法求和等问题，属中档题，是常考类型．

1年前

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