已知函数f（x）=[3−xx2+2x+1，g（x）=1/3]ax3-a2x，（a≠0）

（1）已知函数f（x）=[3−x
x2+2x+1通过恒等变换，转化为：
f（x）=
−(x+1)+4
(x+1)2=4(
1/x+1)2-(
1
x+1)=4(
1
x+1−
1
8)2-
1
16]，
设[1/x+1]=t，则二次函数的对称轴方程为t=[1/8]
∵0≤x≤3
∴[1/4]≤(
1
x+1)≤1，即[1/4]≤t≤1，
根据t的取值范围在对称轴的一侧，具有严格的单调性，进一步求得
0≤f（x）≤3
（2）又由于 0≤f（x）≤3 则2f（x₁）的范围是0≤f（x₁）≤6
由题意知：对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[0，3]，使得2f（x₁）=g（x₂）成立，
则y=g（x）的值域包含（0，6]
∵g（x）=[1/3]ax³-a²x∴g′（x）=ax²-a²=a（x²-a） x∈[0，3]
①当a＜0时 g′（x）＜0 g（x）在[0，3]上单调递减
则g（x）≤g（0）=0 因此不合题意
②当0＜a＜9时 令g′（x）=0 得x=
a
令g′（x）＞0 得
a＜x≤3
令g′（x）＜0 得 0≤x＜
a
所以g（x）在（0

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数的值域．

考点点评： 本题第一问在求函数的值域时利用二次函数的单调性求得值域； 第二问求参数的取值范围时，充分利用函数的导数对参数进行分类讨论求的结果

1年前

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