已知双曲线以坐标轴为对称轴,焦点在Y轴上,它的半实轴长为sinx（是锐角）,且双曲线上一动点P（x,y)到定点M（1,0
已知双曲线以坐标轴为对称轴,焦点在Y轴上,它的半实轴长为sinx（是锐角）,且双曲线上一动点P（x,y)到定点M（1,0）的最短距离为1/sinx,求x的变化范围.
赞 花开在黄昏 幼苗
共回答了19个问题采纳率：94.7% 举报
【1】可设双曲线方程为：(y²/a²)-(x ²/b ²)=1.(a,b＞0).
∴y ²=(a ²/b ²)x ²+a ².
由“两点间距离公式”可得：
|PM| ²=(x-1) ²+y ²
=(c ²/b ²)x ²-2x+a ²+1
=(c ²/b ²)[x-(b ²/c ²)]²+[a ²(c ²+1)/c ²] ≥a ²(c ²+1)/c ².
等号仅当x=b ²/c ²时取得.∴|PM|min=(a/c) √(c ²+1).
由题设可知,a=sint,|PM|min=1/sint..
∴(a/c) √(c ²+1)=1/a.即：a ²=c/√(1+c ²).
【2】易知,a ²＜c ².∴c√(1+c ²) ＞1.
∴[c ²+(1/2)] ²＞5/4.
∴c ²＞(√5-1)/2.
∴0＜1/c ²＜(1+√5)/2.
∴1＜√[1+1/c ²] ＜(√5+1)/2.
即1＜1/a ²＜(√5+1)/2.
∴-1＜1-2a ²＜2-√5.
∵a=sint.∴-1＜cos2t＜2-√5.
∴√5-2＜cos(π-2t) ＜1.
∵0＜t＜π/2.∴0＜π-2t＜π.
∴0＜π-2t＜arccos(√5-2).
∴[π-arccos(√5-2)]/2＜t＜π/2.
∴y ²=(a ²/b ²)x ²+a ².
由“两点间距离公式”可得：
|PM| ²=(x-1) ²+y ²
=(c ²/b ²)x ²-2x+a ²+1
=(c ²/b ²)[x-(b ²/c ²)]²+[a ²(c ²+1)/c ²] ≥a ²(c ²+1)/c ².
等号仅当x=b ²/c ²时取得.∴|PM|min=(a/c) √(c ²+1).
由题设可知,a=sint,|PM|min=1/sint..
∴(a/c) √(c ²+1)=1/a.即：a ²=c/√(1+c ²).
【2】易知,a ²＜c ².∴c√(1+c ²) ＞1.
∴[c ²+(1/2)] ²＞5/4.
∴c ²＞(√5-1)/2.
∴0＜1/c ²＜(1+√5)/2.
∴1＜√[1+1/c ²] ＜(√5+1)/2.
即1＜1/a ²＜(√5+1)/2.
∴-1＜1-2a ²＜2-√5.
∵a=sint.∴-1＜cos2t＜2-√5.
∴√5-2＜cos(π-2t) ＜1.
∵0＜t＜π/2.∴0＜π-2t＜π.
∴0＜π-2t＜arccos(√5-2).
∴[π-arccos(√5-2)]/2＜t＜π/2.
1年前
8
可能相似的问题
-
1年前2个回答
你能帮帮他们吗