如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C： 的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a 2 上的射影
如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C： 的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a 2 上的射影
如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C： 的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a 2 上的射影依次为点D，K，E，（1）已知抛物线  的焦点为椭圆C的上顶点．①求椭圆C的方程； ②若直线L交y轴于点M，且  ，当m变化时，求λ 1 +λ 2 的值；（2）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标并给予证明；否则说明理由． |
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（1）①易知
，
∴b 2 =3，
又F（1，0），∴c=1，a 2 =b 2 +c 2 =4
∴椭圆C的方程为
②∵l与y轴交于M
设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），由
∴（3m 2 +4）y 2 +6my﹣9=0，△=144（m 2 +1）＞0 ∴
又由
，
∴
∴
同理
∴
（2）∵F（1，0），k=（a 2 ，0），
先探索，当m=0时，直线l ⊥Ox轴，则ABED由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点
证明：设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），E（a 2 ，y 2 ），D（a 2 ，y 1 ）
当m变化时首先AE过定点N
∵
，即（a 2 +b 2 m 2 ）y 2 +2mb 2 y+b 2 （1﹣a 2 ）=0
又△=4a 2 b 2 （a 2 +m 2 b 2 ﹣1）＞0（a＞1）
又K AN =
，
而K AN ﹣K EN =
=
∴K AN =K EN ，∴A、N、E三点共线，
同理可得B、N、D三点共线∴AE与BD相交于定点
，∴b 2 =3，
又F（1，0），∴c=1，a 2 =b 2 +c 2 =4
∴椭圆C的方程为
②∵l与y轴交于M
设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），由
∴（3m 2 +4）y 2 +6my﹣9=0，△=144（m 2 +1）＞0 ∴
又由
，∴
∴
同理
∴
（2）∵F（1，0），k=（a 2 ，0），
先探索，当m=0时，直线l ⊥Ox轴，则ABED由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点
证明：设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），E（a 2 ，y 2 ），D（a 2 ，y 1 ）
当m变化时首先AE过定点N
∵
，即（a 2 +b 2 m 2 ）y 2 +2mb 2 y+b 2 （1﹣a 2 ）=0又△=4a 2 b 2 （a 2 +m 2 b 2 ﹣1）＞0（a＞1）
又K AN =
，
而K AN ﹣K EN =
=
∴K AN =K EN ，∴A、N、E三点共线，
同理可得B、N、D三点共线∴AE与BD相交于定点
1年前
10
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