已知函数f（x）满足f（x）+3f（-x）=8ax2-[2/x] （a∈R）．

解题思路：（1）由f（x）+3f（-x）=8ax2-2x （a∈R）．可得f（-x）+3f（x）=8ax2+2x （a∈R）．联立解得即可．（2）分类讨论：a=0与a≠0，利用函数的奇偶性定义即可判断出；（3）法一：利用函数的单调性定义即可得出；法二：利用导数研究函数的单调性即可得出．

（1）∵f（x）+3f（-x）=8ax²-[2/x] （a∈R）．
∴f（-x）+3f（x）=8ax²+[2/x] （a∈R）．
由两式可得f(x)＝2ax2+
1
x．
（2）f（x）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
当a=0时，f(x)＝
1
x，f(−x)＝
1
−x＝−
1
x＝−f(x)，
∴a=0时f（x）为奇函数．
当a≠0时，f（-x）≠±f（x），
函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．）
（3）由题意可知函数f（x）在x∈[3，+∞上为增函数．
设3≤x₁＜x₂，要使函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，
法一：必须f(x1)−f(x2)＝2a
x21+
1
x1−2a
x22−
1
x2＝
(x1−x2)
x1x2[2ax1x2(x1+x2)−1]＜0，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞9，
∴2ax₁x₂（x₁+x₂）＞1．
∵x₁+x₂＞6，∴x₁x₂（x₁+x₂）＞54．
∴[1
x1x2(x1+x2)＜
1/54]
要使a＞
1
2x1x2(x1+x2)，
∴a的取值范围是[
1
108，+∞)．
法二：f′(x)＝4ax−
1
x2≥0 在[3，+∞）上恒成立，
所以4a≥
1
x3 在[3，+∞） 上恒成立，所以4a≥
1
27，
所以a 的取值范围是[
1
108，+∞)．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了利用导数研究函数的单调性和分离参数法，属于中档题．