已知函数f(x)＝12x2+alnx（ a为常数、a∈R），g(x)＝f(x)−23x3．

解题思路：（1）由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，且求出f（x）的定义域，分a大于等于0和a小于0两种情况，分别令导函数大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的递增区间；令导函数小于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的递减区间；
（2）把a=1代入f（x）中确定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到g（x）中确定出g（x）的解析式，求出g（x）的导函数，分别令导函数大于0和小于0得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到g（x）的最小值，根据最小值小于0得到函数没有零点即零点个数为0．

（1）由f（x）=[1/2]x²+alnx，得f′（x）=x+[a/x]=
x2+a
x，其中x＞0．
当a≥0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）均成立，这是f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，由f′（x）＞0⇒x＞
−a或x＜-
−a（舍）
由f′（x）＜0⇒0＜x＜
−a，
∴f（x）在区间（
−a，+∞）上单调递增，在区间（0，
−a）上单调递减；

（2）a=1时，g（x）=f（x）-[2/3]x³=[1/2]x²+lnx-[2/3]x³，
g′（x）=x+[1/x]-2x²=
(1−x)(1+x+2x2)
x，其中x＞0，
∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴[g（x）]_min=g（1）=-[1/6]＜0，
∴函数g（x）零点的个数为0．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 此题考查学生会根据导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的最值，掌握函数零点的判断方法，是一道综合题．