已知函数f(x)＝13ax3−12(a+1)x2+bx(a，b∈R，a≠1，a＞0)在x=1时取得极值．

解题思路：（1）依题意，得f′（x）=ax²-（a+1）x+b由于x=1为函数的一个极值点，则f′（1）=0，得b=1．
（2）由（1）得；f′（x）=ax²-（a+1）x+1，①当0＜a＜1时，1＜

1

a

，②当a＞1时，

1

a

＜1，令f′（x）＜0，解不等式求出即可．

（1）依题意，得f′（x）=ax²-（a+1）x+b
由于x=1为函数的一个极值点，
则f′（1）=0，
解得b=1．
（2）由（1）得；f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
①当0＜a＜1时，1＜
1
a，
令f′（x）＜0，
∴不等式的解集为1＜x＜
1
a；
②当a＞1时，[1/a＜1，
令f′（x）＜0，
∴不等式的解集为
1
a＜x＜1；
综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调减区间为（1，
1
a]）；
当a＞1时，f（x）的单调减区间为（[1/a]，1）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．