111有个6位数,如果它加上6,那么原来6位数各位数字之和是新的6位数的各位数字之和的6倍:求所有这样的六位数?

考虑6位数abcdef,设其各位数字之和为n,新的6位数为a'b'c'd'e'f',其各位数字之和为n',
根据题意有n=6n' ①,其中n与n’皆为正整数.
如果f为0~3,则abcdef+6后无需进位,此时a'b'c'd'e'=abcde,f'=f+6,于是n'=n+6,①式无解.
所以f为4~9,此时abcdef+6需要进位：
如果e为0~8,则a'b'c'd'=abcd,e'=e+1,f'=f-4,于是n'=n+1-4=n-3,①式无解；所以e=9.
考虑d,如果d为0~8,则a'b'c'=abc,d'=d+1,e'=e-9,f'=f-4,于是n'=n+1-9-4=n-12,①式无解；所以d=9.
以此类推,最终得到c=9,b为0~8,于是a'=a,b'=b+1,c'=c-9,d'=d-9,e'=e-9,f'=f-4,于是n'=n+1-9-9-9-4=n-30,代入①式,解得n=36,于是a+b+f=36-3 x 9=9.
综上所述,原6位数abcdef为ab999f,其中f为4~9,b为0~8,a为1~9,且a+b+f=9.

309996或129996或219996．

加上6,一定要有进位，而且只能是进1，这样各位数字之和会少3；
如果十位是9，又会进1，各位数字之和又会少9
设原各位数字之和为t，十位以上9的个数为n，n不大于5
有：
t=6（t-3-9n）
5t=18（1+3n）
t是整数，1+3n是5的倍数。
n=3
t=36
据此可写出符合条件的所有数字：个位加上6有位，十、百、千都...