已知函数f（x）=ex（x3-6x2+3x+a），

解题思路：先对函数求导数f'（x）=e^x（x³-3x²-9x+a+3），
（Ⅰ）当a=1时，f'（0）及f（0）均可求，进而可得函数在（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）由于f（x）有三个极值点⇔f'（x）=e^x（x³-3x²-9x+a+3）有三个零点⇔g（x）=x³-3x²-9x+a+3有三个零点，
即要求g（x）的极大值为正，且极小值为负，则可求出实数a的取值范围；
（Ⅲ）先判定函数G（x）的解析式，再求出曲线在点M处的切线斜率及直线AB的斜率，整理后构建新函数，
借助于新函数的单调性来判断函数G（x）=[f'（x）-f（x）]•e^-x+e^x的图象是否有“平衡切线”．

f'（x）=e^x（x³-3x²-9x+a+3）
（Ⅰ）当a=1时f'（0）=4，f（0）=1
函数在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1
（Ⅱ） f'（x）=e^x（x³-3x²-9x+a+3）
设g（x）=x³-3x²-9x+a+3，则g'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）
∴g（x）的极大值为g（-1）=a+8，极小值为g（3）=a-24，
由于f（x）有三个极值点⇔f'（x）有三个零点⇔g（x）有三个零点
∴g（x）的极大值为正，且极小值为负，即 a+8＞0，a-24＜0
可得-8＜a＜24
（Ⅲ）由题意知，G（x）=[f'（x）-f（x）]e^-x+e^x=e^x+3x²-12x+3
∴G'（x）=e^x+6x-12
故G（x）的图象在M处的切线的斜率为k0＝G′(
x1+x2
2)＝e
x1+x2
2+3(x1+x2)−12
直线AB的斜率kAB＝
G(x1)−G(x2)
x1−x2＝
ex1−ex2
x1−x2+3(x1+x2)−12
如果k₀=k_AB，则
ex1−ex2
x1−x2＝e
x1+x2
2
则 ex1−ex2＝e
x1+x2
2(x1−x2)可化为e
x1−x2
2−e
x2−x1
2＝(x1−x2)
令
x1−x2
2=t，上式即为e^t-e^-t=2t
构造函数h（x）=e^x-e^-x-2x，则h'（x）=e^x+e^-x-2≥0，则h（x）在R上是增函数，
因为h（0）=0，所以h（t）=0的充要条件是t=0．此时 x₁=x₂与条件矛盾．
所以G（x）的图象没有“平衡切线”

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查函数与导数的综合应用，涉及根的个数的判断，属中档题．