天外王子
幼苗
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是.可以简单证明一下：
取可逆阵D,使得A=D^TD,D^T是D的转置.
则A--B=D^T(E--D^(--T)BD^(--1))D,
于是E--D^(--T)BD^(--1)是正定阵,
D^(--T)BD^(--1)的特征值都大于0小于1,
于是其行列式大于0小于1,即
det(B)/det(A)=det(B)*det(A^(--1))
1年前
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yss888
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为什么：E--D^(--T)BD^(--1)是正定阵，D^(--T)BD^(--1)的特征值都大于0小于1
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天外王子
首先，D^(--T)BD^(--1)是正定阵，特征值都大于0； 齐次，E--F是正定阵，其中E是单位阵，F是对称阵，则容易证明F的特征值都小于1。 设Fx=ax，a是特征值，则x^T(E--F)x=x^Tx--ax^Tx=(1--a)x^Tx>0，故1--a>0，a<1。 这些结论都是应该记住的吧。
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yss888
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后面都懂，只是为什么E--D^(--T)BD^(--1)是正定阵，就有D^(--T)BD^(--1)是正定阵
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天外王子
不是因为E--D^(--T)BD^(--1)是正定阵，才有结论。 而是因为B是正定阵，对B做合同变换还是正定阵。
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yss888
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如果A、B都只能保证半正定，且A-B>=0，以上结论还成立吗，是否有|A|>=|B|？
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天外王子
上面的证明过程对A正定，B半正定都可以用。 当A半正定时，得考虑用极限了： 对任意的e>0，A+eE正定，A+eE--B>0，因此有 det(A+eE)>det(B)。 令e趋于0，得det(A)>=det(B)。 不用这么麻烦： 此时A，B的行列式都是0，当然成立。
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