（2010•鞍山）在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．

解题思路：（1）先作AK⊥BC于K，FG⊥BC于G，根据等腰梯形的性质，可得BK=[1/2]（BC-AD）=3，在Rt△ABK中，利用勾股定理可求出AK=4，由于AK、FG垂直于同一直线故平行，可得比例线段，求出FG=

4(12−x)

5

，利用面积公式可得S_△BEF=-[2/5]x²+[24/5]x（7≤x≤10，因为BF最大取5，故BE最小取7，又不能超过10）；
（2）根据题意，结合（1）中面积的表达式，可以得到[1/2]S_梯形ABCD=-[2/5]x²+[24/5]x，即14=-[2/5]x²+[24/5]x，解得，x₁=7，x₂=5（不合题意，舍去）；
（3）仍然按照（1）和（2）的步骤和方法去做就可以了，注意不是分成相等的两份，而是1：2就可以了，得到关于x的一元二次方程，先求出根的判别式△，由于△＜0，故不存在实数根．

（1）由已知条件得：
梯形周长为24，高4，面积为28．
过点F作FG⊥BC于G
∴BK=[1/2]（BC-AD）=[1/2]×（10-4）=3，
∴AK=
AB2−BK2=4，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，
∴BF=12-x，
过点A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK，
∴[FG/AK＝
BF
BA]，
即：[FG/4＝
12−x
5]，
则可得：FG=[12−x/5]×4
∴S_△BEF=[1/2]BE•FG=-[2/5]x²+[24/5]x（7≤x≤10）；（3分）

（2）存在（1分）
由（1）得：-[2/5]x²+[24/5]x=14，
x²-12x+35=0，
（x-7）（x-5）=0，
解得x₁=7，x₂=5（不合题意舍去）
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7；

（3）不存在（1分）
假设存在，第一种情况：显然是：S_△BEF：S_AFECD=1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2（1分），
梯形ABCD周长的三分之一为[24/3]=8，面积的三分之一为[28/3]．因为BE=X，
所以BF=（8-X）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴[8−x/5]=[FM/4]，
∴FM=[32−4x/5]，
∴△BEF的面积=−
2
5x2+
16
5x，
当 [1/3]_{梯形ABCD的面积}=[28/3]时，
∴[28/3]=

点评：
本题考点： 等腰梯形的性质；一元二次方程的应用．

考点点评： 本题利用了等腰梯形的性质、垂直于同一直线的两直线平行，勾股定理，三角形、梯形面积公式，解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式等知识．