已知函数f（x）= 1 2 x 2 +alnx，g（x）=（a+1）x（a≠-1），H（x）=f（x）-g（x）．

（1） f ′ (x)=x+
a
x ， g ′ (x)=a+1 ，
H(x)=
1
2 x 2 +alnx-(a+1)x ，
∵f（x），g（x）在区间[1，2]上都为单调函数，且它们的单调性相同，
∴ f ′ (x)• g ′ (x)=
x 2 +a
x •(a+1)＞0 ，
∵x∈[1，2]，∴（a+1）（a+x ² ）≥0，
-x ² ≤-1，∴a≤-x ² 或a＞-1（a≠-1），又（-x ² ） _min =-4，
∴a≤-4或a＞-1．
（2）∵ H ′ (x)=x+
a
x -(a+1)=
x 2 -(a+1)x+a
x =
(x-1)(x-a)
x =0 ⇒x=1或x=a，
又∵x ² -（a+1）x+a=0有两个不相等的正根α，β，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a∈（1，e]，∴当x∈[α，β]时，H′（x）≤0，
∴H（x）在[α，β]上单调单调递减，
∴H（x） _max =H（1），H（x） _min =H（β），
则对任意的x ₁ ，x ₂ ∈[α，β]，
|H（x ₁ ）-H（x ₂ ）| ≤H(1)-H(β)=[
1
2 -(a+1)]-[
1
2 a 2 +alna-a(a+1) ]
=
1
2 a 2 -alna-
1
2 ．
设f（a）=
1
2 a 2 -alna-
1
2 ，则t′（a）=a-1-lna，
∵当a∈（1，e]时， t ″ (a)=1-
1
a ＞0 ，∴t′（a）在（1，e]单调递增，
∴t′（a）＞t′（1）=0，∴t（a）也在（1，e]单调递增，
∴ t(a)≤t(e)=
1
2 e 2 -e-
1
2 =e(
e
2 -1) -
1
2 ＜3(
3
2 -1)-
1
2 =1 ，
∴不等式|H（x ₁ ）-H（x ₂ ）|＜1对任意的x ₁ ，x ₂ ∈[α，β]成立．