已知函数f（x）=lnx+2x（1）判断f（x）的单调性并用定义证明；（2）设g(x)＝lnx+2x−2，若对任意x1∈

（1）增函数…（1分）
因为函数的定义域为（0，+∞），
设x₁＞x₂＞0…（2分）
则f（x₁）-f（x₂）=lnx₁-lnx₂+2（x₁-x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数…（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）是增函数
∴f（x₁）＜f（1）=2…（6分）
令g（x₂）≥2即ln
x2+2
x2−2≥2即x2+2≥e2(x2−2)
得x2≤
2e2+2
e2−1＝
2(e2−1)+4
e2−1＝2+
4
e2−1
∵2+
4
e2−1∈(2，3)…（8分）
∴k_max=2…（10分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查函数单调性的判断，利用定义法是判断函数单调性中比较常用的方法．