（2012•安徽模拟）过抛物线y=x2上异于原点的任意两点A、B所作的两条切线交于点P，且交x轴于M、N（如图），F为抛
（2012•安徽模拟）过抛物线y=x2上异于原点的任意两点A、B所作的两条切线交于点P，且交x轴于M、N（如图），F为抛物线的焦点．（Ⅰ） 求点P的坐标（用A、B的横坐标x1和x2表示）；
（Ⅱ）求证：|FP|2=|FA|•|FB|；
（Ⅲ）设S△OAB=λS△PMN，试求λ的值．
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解题思路：（Ⅰ）求导函数，可得切线方程，从而可求点P的坐标；
（Ⅱ）由抛物线的定义，求出|FA|、|FB|，利用两点间的距离公式，求出|FP|2，即可证得结论；
（Ⅲ）分别求出S△OAB，S△PMN，即可求λ的值．
（Ⅱ）由抛物线的定义，求出|FA|、|FB|，利用两点间的距离公式，求出|FP|2，即可证得结论；
（Ⅲ）分别求出S△OAB，S△PMN，即可求λ的值．
（Ⅰ）设A、B的横坐标分别为x1和x2，则
由y=x2可得y=2x，所以两条切线的方程分别为：
AP：y−
x21＝2x1(x−x1)，BP：y−
x22＝2x2(x−x2)，
联立上述两个方程解得P(
x1+x2
2，x1x2)；…（4分）
（Ⅱ）证明：由抛物线的定义可知：|AF|＝
x21+
1
4，|BF|＝
x22+
1
4
∴|AF|•|BF|＝(
x21+
1
4)(
x22+
1
4)＝
x21
x22+
1
4(
x21+
x22)+
1
16；
另一方面，∵F (0，
1
4)，P(
x1+x2
2，x1x2)，
∴|FP|2＝(
x1+x2
2)2+(x1x2−
1
4)2=
x21
x22+
1
4(
x21+
x
点评：
本题考点： 圆锥曲线的综合．
考点点评： 本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查抛物线的定义，考查三角形面积的计算，属于中档题．
1年前
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