（2012•莆田模拟）已知函数f（x）=asinx-x+b（a＞0，b＞0）．

解题思路：（1）利用f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0，可得函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）根据函数f(x)在x＝

π

3

处取得极值，可得a=2
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx-sinx+x对于任意x∈[0，

π

2

]恒成立，构造函数g（x）=cosx-sinx+x，求函数的最大值，即可求b的取值范围；
（ii）确定函数f（x）在（−

π

3

，

π

3

）上是单调递增函数，从而可得y₁＜y₂＜y₃，利用向量的夹角公式、余弦定理、正弦定理可得sin²A+sin²C＜sin²B，再利用函数f（x）在（−

π

3

，

π

3

）上是单调递增函数，即可证得结论．

（1）证明：∵函数f（x）=asinx-x+b，a、b均为正的常数
∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）f′（x）=acosx-1，
∵函数f(x)在x＝
π
3处取得极值，∴f′（[π/3]）=0
∴acos[π/3]-1=0，∴a=2
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx-sinx+x对于任意x∈[0，
π
2]恒成立
设g（x）=cosx-sinx+x，∴g′（x）=-sinx-cosx+1=-
2sin（x+[π/4]）+1
∵x∈[0，
π
2]，∴x+
π
4∈[
π
4，
3π
4]，∴sin（x+[π/4]）∈[

2
2，1]
∴
2sin（x+[π/4]）∈[1，
2]
∴g′（x）≤0
∴g（x）=cosx-sinx+x在[0，[π/2]]上是单调减函数，且最大值为g（0）=1
∴b＞1；
（ii）证明：当x∈（−
π
3，
π
3）时，cosx＞

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数的零点；正弦定理；余弦定理．

考点点评： 本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．