已知圆C满足下列三个条件：1:y轴上所截得的……

设圆的方程为：
（x-a）²+（y-b）²=R²
那么当x=0时a²+（y-b）²=R²,（y-b）²=R²-a²,
即y=±√（R²-a²）+b
∴y1-y2=2√（R²-a²）=2 “y轴上所截得的弦为2” R≥1
∴R²-a²=1 ,即R²=a²+1 ①
∵被x轴分成的两段弧的比值为3:1,圆与X轴2交点对应的圆心角为90°
∴|b|=Rcos45° =√2R/2,即R²=2b² ②
①②联立得
a²+1=2b² b²≥1/2
即x²+1=2y² y²≥1/2 ③

圆心的轨迹曲线为双曲线,渐近线方程为：
y=±√2x/2,即2y±√2x=0
所以
双曲线与x-2y=0无交点.

设与x-2y=0平行的直线x-2y=m与双曲线相切,
那么切点就是所求的圆的圆心.
代入③整理得
2y²+4my+m²+1=0
令△=（4m）²-4×2×（m²+1）=8m²-8=0,
∴m1=1,m2=-1
此时y1=-1,y2=1,

因为切点在13象限,
当y1=-1时,x1=-1 R²=1+1=2
当y2=1时,x2=1 R²=1+1=2
点（-1,-1）和（1,1）就是所求的到直线l:x-2y=0的距离最短点.

最短距离为：
|1-2|/√（1+2²）=√5/5

综上所述,圆的方程为：
（x+1）²+（y+1）²=2
（x-1）²+（y-1）²=2
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