vikiwen 花朵
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(Ⅰ)函数的导数的为f′(x)=(x+a+1)ex,
当x∈[0,4]时,函数f(x)≥e2恒成立,等价为fmin(x)≥e2恒成立;
令f′(x)=0,解得x=-a-1,
f(x),f′(x)的情况如下:
x(-∞,-a-1)-a-1(-a-1,+∞)
f′(x)-0+
f(x)↘极小值↗①当-a-1≤0,即a≥-1时,f(x)在[0,4]上的最小值为f(0),
若满足题意只需f(0)≥e2,解得a≥e2;
②当0<-a-1<4,即-5<a<-1时,f(x)在[0,4]上的最小值为f(-a-1),
若满足题意只需f(-a-1))≥e2,求解可得此不等式无解,
所以a不存在;
③当-a-1≥4,即a≤-5时,f(x)在[0,4]上的最小值为f(4),
若满足题意只需需f(4)≥e2,解得(4+a)e4≥e2,
所以此时,a不存在.
综上实数a的取值范围为a≥e2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)的增区间为(-a-1,+∞),单调减区间为(-∞,-a-1),
∴若a>0,函数F(x)=af(x)的单调性与f(x)的单调性相同,
若a<0,函数F(x)=af(x)的单调性与f(x)的单调性相反,
综上当a>0时,函数F(x)=af(x)的增区间为(-a-1,+∞),单调减区间为(-∞,-a-1),
当a<0时,函数F(x)=af(x)的增区间为(-∞,-a-1),F(x)=af(x)的单调减区间为(-a-1,+∞).
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题主要考查函数单调性和函数最值之间的应用,将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键.
1年前
1年前1个回答
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(本小题满分12分)已知函数 ,其中 为自然对数的底数, 。
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你能帮帮他们吗